Integral

Pengertian Integral

Integral merupakan bentuk pada operasi matematika yang menjadi kebalikan atau disebut invers dari operasi turunan dan limit dari jumlah ataupun suatu luas daerah tertentu. Berdasarkan pengertian itu ada dua hal yang dilakukan dalam integral hingga dikategorikan menjadi 2 jenis integral. Yaitu, integral sebagai invers/ kebalikan dari turunan disebut juga sebagai Integral Tak Tentu. Kedua, integral sebagai limit dari jumlah ataupun suatu luas daerah tertentu yang disebut integral tentu.

Rumus Integral

Berikut adalah rumus-rumus dasar integral:

Integral Tentu

Landasan dasar mengenai integral tentu pertama kali diperkenalkan oleh seorang ilmuan terkenal yaitu Newton dan Leibinz yang kemudian diperkenalkan lebih lanjut secara modern oleh Riemann.

Pengertian Integral ini memiliki batas atas dan batas bawah. Didalam aplikasinya, integral tentu banyak digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas-batas tertentu atau menghitung volume benda jika diputar.

Rumus integral tentu

Integral Tak Tentu

Yang dinamakan dengan integral tak tentu yaitu integral yang tidak mempunyai antara batas atas dan bawah. Umumnya hanya berupa integral dari sebuah aljabar matematika. Bentuk integral ini tidak mempunyai daerah asal dan tidak mempunyai daerah hasil

∫ f(x) dx = F(x) + c

Turunan dari fungsi, jika diintegralkan mapu menghasilkan fungsi tersebut. Perhatikan contoh turunan di dalam fungsi aljabar dibawah ini

• Turunan fungsi aljabar y = x3 yaitu yI = 3×2
• Turunan fungsi aljabar y = x3 + 8 yaitu yI = 3×2
• Turunan fungsi aljabar y = x3 + 17 yaitu yI = 3×2
• Turunan fungsi aljabar y = x3 – 6 yaitu yI = 3×2

Seperti yang telah dipelajari di dalam materi turunan, variabel pada suatu fungsi akan mengalami penurunan pangkat. Berdasarkan contoh, diketahui bahwa terdapat banyak fungsi yang mempunyai hasil turunan yang sama yaitu yI = 3×2.

Fungsi dari variabel x3 maupun fungsi dari variabel x3 yang ditambah / dikurang suatu bilangan (misal contoh: +8, +17, atau -6) mempunyai turunan yang sama. Jika turunan dintegralkan, umumnya menjadi fungsi awal sebelum diturunkan.

Contoh Soal

Jawab

1. Kita nyatakan bentuk fungsi di dalam akar kuadrat sebagai   yang nantinya akan disubstitusikan ke dalam bentuk integral.

Turunkan bentuk u terhadap variabel x. Hal ini dilakukan sebagai persiapan substitusi bentuk dx.

Lalu diatur menjadi,  untuk disubstitusikan ke dalam bentuk integral.

2. Misal :
u = x² + 1
du/dx = 2x
x dx = 1/2 du

∫x sin (x² + 1) dx
= ∫sin u . 1/2 du
= 1/2 ∫sin u du
= -1/2 cos u + C
= -1/2 cos (x² + 1) + C

3. Misal:  u = sin x

du = cos x dx

∫sin²xcosx dx

= ∫u² du

4.

5.

6. Misal :
u = x² + 1
du/dx = 2x
x dx = 1/2 du

∫x sin (x² + 1) dx
= ∫sin u . 1/2 du
= 1/2 ∫sin u du
= -1/2 cos u + C
= -1/2 cos (x² + 1) + C

9.